Cuando observamos nuestro entorno, puede parecer que vivimos en un plano bidimensional. Esto se debe a que podemos orientarnos en una nueva ciudad utilizando un mapa, una representación plana de los lugares que nos rodean. Históricamente, esta percepción llevó a algunas personas a creer que la Tierra era plana. Sin embargo, la realidad es que habitamos la superficie de una esfera gigante, similar a una pelota de playa con algunas irregularidades. Al igual que podemos movernos en dos direcciones sobre una superficie plana, en la esfera terrestre podemos desplazarnos hacia el norte y el sur o hacia el este y el oeste.
La forma del universo
Al mirar el universo, parece que existimos en un espacio tridimensional, al igual que la superficie de la Tierra parece un espacio bidimensional. No obstante, si consideramos el universo en su totalidad, podría ser un espacio mucho más complejo, similar a una versión tridimensional de la superficie de una pelota de playa o incluso algo más exótico. Aunque no necesitamos la topología para concluir que vivimos en algo parecido a una esfera gigante, comprender todos los espacios bidimensionales puede resultar útil. Desde hace más de un siglo, los matemáticos han determinado todas las posibles superficies bidimensionales y muchas de sus propiedades.
En las últimas décadas, los matemáticos han avanzado considerablemente en la comprensión de los espacios tridimensionales. Aunque no poseemos un conocimiento completo como el que tenemos de los espacios bidimensionales, hemos adquirido mucha información. Con esta base, físicos y astrónomos intentan determinar en qué tipo de espacio tridimensional habitamos. Aunque la respuesta no es completamente clara, hay numerosas posibilidades intrigantes que se vuelven aún más complejas si consideramos el tiempo como una dimensión adicional.
Para describir la ubicación de un objeto en el espacio, como un cometa, necesitamos cuatro números: tres para su posición y uno para el tiempo en que se encuentra en esa posición. Estos cuatro números constituyen un espacio cuatridimensional. A medida que exploramos qué espacios cuatridimensionales son posibles, también debemos preguntarnos en cuál de esos espacios vivimos.
Topología en dimensiones superiores
Podría parecer que no hay razón para considerar espacios con dimensiones superiores a cuatro, ya que esa es la dimensión más alta que podríamos imaginar para describir nuestro universo. Sin embargo, una rama de la física llamada teoría de cuerdas sugiere que el universo podría tener muchas más dimensiones. Además, el análisis de espacios de dimensiones superiores tiene aplicaciones prácticas, como la planificación del movimiento de robots. Por ejemplo, si intentamos entender el movimiento de tres robots en una planta de un almacén, necesitamos describir la posición de cada uno mediante sus coordenadas en un plano. Dado que cada robot requiere dos coordenadas, necesitaremos seis números para describir todas las posiciones posibles, lo que se puede interpretar como un espacio de seis dimensiones.
Con el aumento del número de robots, también aumenta la dimensionalidad del espacio. Incluir información adicional, como la ubicación de obstáculos, complica aún más este espacio. Para estudiar este tipo de problemas, es esencial investigar espacios de alta dimensión, los cuales aparecen en numerosos problemas científicos, desde la modelización del movimiento de planetas y naves espaciales hasta la comprensión de la «forma» de grandes conjuntos de datos.
Otro aspecto que los topólogos examinan es cómo un espacio puede estar contenido dentro de otro. Por ejemplo, al sostener un lazo de cuerda anudado, estamos ante un espacio unidimensional (el lazo) dentro de un espacio tridimensional (nuestro entorno). Estos lazos se conocen como nudos matemáticos. El estudio de los nudos, que originalmente surgió de la física, se ha convertido en un área central de la topología y es esencial para comprender los espacios tridimensionales y cuatridimensionales, además de tener aplicaciones que van desde la teoría de cuerdas en física hasta la recombinación de ADN en biología y la quiralidad en química.
La topología geométrica es un campo fascinante y complejo, con innumerables preguntas emocionantes aún por responder sobre los espacios. Por ejemplo, la conjetura de Poincaré suave en cuatro dimensiones se pregunta cuál es el «espacio cerrado más simple» en esa dimensión, y la conjetura de slice-ribbon busca entender cómo los nudos en espacios tridimensionales se relacionan con superficies en espacios cuatridimensionales. La topología es actualmente de gran utilidad en ciencia e ingeniería y desentrañar más misterios sobre los espacios en todas las dimensiones será invaluable para comprender el mundo en el que vivimos y resolver problemas del mundo real.
