Un fragmento de hueso pulido, grabado con marcas irregulares y que data de hace 20,000 años, ha desconcertado a arqueólogos hasta que notaron algo único: las inscripciones, similares a marcas de conteo, podrían haber representado números primos. De manera similar, una tabla de arcilla del 1800 a.C. inscrita con números babilónicos describe un sistema numérico basado en primos. A través de artefactos históricos como el hueso de Ishango y la tabla Plimpton 322, los números primos han fascinado a la humanidad a lo largo de la historia. Hoy en día, los primos y sus propiedades son objeto de estudio en la teoría de números, una rama de las matemáticas que sigue siendo un área activa de investigación.
Historia de los números primos
Informalmente, un número entero positivo mayor que uno es primo si puede ser representado únicamente en una disposición rectangular de una columna o una fila. Por ejemplo, el número 11 es primo porque 11 puntos solo pueden formar arreglos de 1 por 11 o 11 por 1. En cambio, el 12 no es primo, ya que puede disponerse en un arreglo de 3 por 4. Los libros de matemáticas definen un número primo como un número entero mayor que uno cuyos únicos divisores positivos son 1 y él mismo.
El historiador de matemáticas Peter S. Rudman sugiere que los matemáticos griegos fueron probablemente los primeros en entender el concepto de números primos, alrededor del 500 a.C. Aproximadamente en el 300 a.C., el matemático y lógico griego Euler demostró que hay infinitos números primos. Su argumentación fue que, al suponer que había un número finito de primos, podía crear uno que no estaba en la lista original, lo que generaba una contradicción. Por lo tanto, concluyó que su suposición debía ser falsa y que, en efecto, existían infinitos primos.
Si bien este argumento estableció la existencia de infinitos primos, no era particularmente constructivo, ya que Euler no ofreció un método eficiente para enumerar todos los primos en orden ascendente. Durante la Edad Media, los matemáticos árabes avanzaron en la teoría griega de los números primos, conocidos como números hasam en ese momento. El matemático persa Kamal al-Din al-Farisi formuló el teorema fundamental de la aritmética, que establece que cualquier entero positivo mayor que uno puede expresarse de manera única como un producto de primos.
Desde esta perspectiva, los números primos son los bloques básicos para construir cualquier número entero positivo mediante la multiplicación, similar a cómo los átomos se combinan para formar moléculas en química. Los números primos pueden clasificarse en diferentes tipos. En 1202, Leonardo Fibonacci introdujo en su obra “Liber Abaci: Libro de Cálculo” números primos de la forma (2p – 1) donde p también es primo. Hoy en día, estos primos son conocidos como primos de Mersenne, en honor al monje francés Marin Mersenne.
Históricamente, se creyó que un número de la forma (2p – 1) era primo siempre que p fuera primo. Sin embargo, en 1536, el matemático Hudalricus Regius observó que 11 es primo, pero no (211 – 1), que equivale a 2047, el cual puede expresarse como 11 por 89, lo que refutó la conjetura. Aunque no siempre es cierto, los teóricos de números se dieron cuenta de que el atajo (2p – 1) a menudo produce primos y proporciona un método sistemático para buscar grandes primos.
La búsqueda de grandes primos
El número (2p – 1) es considerablemente mayor en comparación con el valor de p, lo que ofrece oportunidades para identificar grandes primos. Sin embargo, a medida que el número (2p – 1) se vuelve lo suficientemente grande, se torna más difícil verificar si es primo, es decir, si se puede disponer solo en una fila o columna.
Afortunadamente, Édouard Lucas desarrolló una prueba de números primos en 1878, que fue demostrada por Derrick Henry Lehmer en 1930. Su trabajo dio como resultado un algoritmo eficiente para evaluar posibles primos de Mersenne. Utilizando este algoritmo, Lucas demostró en 1876 que el número de 39 dígitos (2127 – 1) es igual a 170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727, y que este valor es primo. Este número, conocido como M127, sigue siendo el mayor primo verificado mediante cálculos manuales y mantuvo el récord durante 75 años.
Con el advenimiento de la computación en la década de 1950, el ritmo de descubrimiento de nuevos grandes primos aumentó. En 1952, Raphael M. Robinson identificó cinco nuevos primos de Mersenne utilizando una computadora automática. A medida que las computadoras mejoraron, la lista de primos de Mersenne creció, especialmente con la llegada de la supercomputadora Cray en 1964. A pesar de que existen infinitos primos, los investigadores no están seguros de cuántos encajan en la forma (2p – 1) y son primos de Mersenne.
Para principios de la década de 1980, los investigadores habían acumulado suficientes datos para creer con confianza que existen infinitos primos de Mersenne. Aún no se ha encontrado prueba definitiva, pero nuevos datos continúan respaldando estas conjeturas. En 1996, George Woltman, un científico de la computación, fundó la Gran Búsqueda de Primos de Mersenne por Internet, o GIMPS, un programa colaborativo que permite a cualquier persona descargar software gratuito para buscar números primos de Mersenne en sus computadoras personales.
GIMPS ha identificado hasta ahora 18 primos de Mersenne, principalmente en computadoras personales con chips Intel, y el programa ha descubierto un nuevo primo aproximadamente cada uno o dos años. Luke Durant, un programador retirado, descubrió en octubre de 2024 el actual récord del mayor primo conocido, (2136,279,841 – 1), que es un número de 41,024,320 dígitos, siendo el 52º primo de Mersenne identificado a través de GIMPS en una red de computación en la nube públicamente disponible. Esta red, que utilizó chips Nvidia, operó en 17 países y 24 centros de datos, permitiendo realizar cálculos más rápidos al manejar miles de operaciones simultáneamente.
La Fundación Frontera Electrónica, un grupo de derechos civiles, ofrece premios en efectivo por la identificación de grandes primos, habiendo otorgado premios en 2000 y 2009 por los primeros números primos verificados de un millón y diez millones de dígitos. Los próximos desafíos para los entusiastas de los grandes números primos son identificar el primer primo de 100 millones de dígitos y el de mil millones de dígitos, con premios de 150,000 y 250,000 dólares, respectivamente, para el primer individuo o grupo que lo logre.
Ocho de los diez mayores números primos conocidos son primos de Mersenne, lo que posiciona a GIMPS y la computación en la nube en un papel destacado en la búsqueda de números primos récord. Estos grandes números primos tienen un papel fundamental en muchos métodos de encriptación en ciberseguridad, lo que significa que cada usuario de Internet se beneficia de la búsqueda de grandes primos, contribuyendo a mantener seguras las comunicaciones digitales y la información sensible.
Este artículo ha sido republicado de The Conversation, una organización de noticias independiente y sin fines de lucro que ofrece hechos y análisis confiables para ayudar a comprender nuestro complejo mundo.
